Espacios vectoriales

Qué son los espacios vectoriales?

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos,  llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas.

Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

1° Ley de Composición interna: Si u y v son vectores de V , entonces (u + v) está en V

2° Propiedad Conmutativa: Si u y v son vectores de V , entonces u + v = v + u

3° Propiedad Asociativa: Si u, v y w son vectores de V , entonces u + (v + w) = (u + v) + w

4° Existencia del elemento Neutro: Existe un vector en V , denominado vector nulo, tal que para   cualquier vector u de V : 0 + u = u + 0 = u

5° Existencia del elemento inverso aditivo: Para todo vector u de V existe un vector −u en V , denominado opuesto de u tal que u + (−u) = (−u) + u = 0

6° Ley de composición externa: Si α es cualquier número real y u es cualquier vector de V, entonces (α · u) está en V

7° Propiedad distributiva del producto de un escalar con respecto a la suma de vectores: Si α es cualquier número real y u y v son vectores de V , entonces α · (u + v) = α·u+α·v

8° Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: Si α y β son cualquier par de escalares y u es cualquier vector de V entonces (α + β) · u = α · u + β · u

9° Asociatividad mixta:Si α y β son cualquier par de escalares y u es cualquier vector de V entonces α · (β · u) = (α · β) · u = β · (α · u).

10° Identidad: Si u es cualquier vector de V , entonces 1 · u = u

Qué es un sub espacio vectorial.

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. 

Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u sub espacio.

1). El vector cero de V está en H.2 

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H. 

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y  cada escalar c, el vector cu está en H. 

Condiciones necesarias y suficientes para caracterizar sub espacios

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W⊆V).
W es sub espacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

a)      0V está en W.

b)      Si u y v están en W, entonces u+v está en W.

c)       Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.

Explique cuáles son la dimensión y el rango de un sub espacio y que es una base.

Dimensión de un sub espacio: Es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en un sub espacio. Dicho de otra forma es el rango máximo que puede tener un conjunto de vectores pertenecientes a dicho sub espacio.

Rango: El rango de un sub espacio es igual a la dimensión del sub espacio, por eso se tiene que la dimensión de un sub espacio S es igual a rango R. Dim S = r.

Base: Al igual que la de un espacio vectorial, es aquel sistema que puede generar dicho sub espacio y que a su vez es linealmente independiente.

Sea E un espacio vectorial sobre K. Un conjunto finito de vectores {e1 e2, , ... ,eq } de E se dice que es base de E si es una familia libre y total. Es decir, es un conjunto de vectores linealmente independientes y capaces de generar todo E.