Transformaciones lineales

Qué es una transformación lineal?

Son Las funciones con las que trabajamos en Algebra Lineal. Se trata de funciones entre K-Espacios vectoriales que son compatibles con la operación y acción de estos espacios. Estas tienen como dominio y contra dominio un espacio vectorial, y que además conserva las propiedades de linealidad de dichos espacios.

Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal?

Sean (V, +V, ·V) y (W, +W, ·W) dos K-espacios vectoriales. Una función f: V → W se llama una transformación lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo) de V en W si cumple:

Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Propiedades de una transformación lineal

1° La imagen del vector nulo del dominio 0V es el vector nulo del co-dominio 0w:

T (0V)=0w

Demostración:

T (0v) = T (0.v) = 0.T (v) = 0.W = 0w

Donde hemos expresado a 0V como el producto del escalar 0 por cualquier vector del espacio vectorial V, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.

2° La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v:

T (–v) = -T (v)

Demostración:

T (-v) = T (-1.v) = -1.T (v) = -T (v)

La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.

3° Consideremos r vectores del espacio vectorial V:

v1, v2,…, vr ∈ V

Tomemos una combinación lineal en el dominio:

α1v1+α2v2+α3v3+...+ αrvr

Donde αi ∈ R

Si aplicamos la transformación lineal FF de VV a WW, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:

F (α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr) = α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)

Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales de V a W, conservando los escalares de la combinación lineal.

4° T (u – v) = T (u) – T (v)

Demostración:

T (u-v) = T (u + (-v)) = T (u) + T (-v) = T (u) – T (v)

5° Este teorema, conocido también como «Teorema de existencia y unicidad de una transformación lineal», dice lo siguiente:

Sean los espacios vectoriales V y W sea B = {v1,v2,…,vn} una base de V y w1,w2,…,wn vectores cualesquiera (iguales o distintos) de W. Entonces existe una única transformación lineal que verifica:

Para demostrarlo habría que demostrar que esa transformación existe, que es única, y que es lineal. No lo vamos a demostrar pero lo pueden encontrar en textos de álgebra lineal

Un ejemplo de una transformación lineal y Su demostración.

Demuestre que la transformación T: R2→R2 definida por